Программы обоснования математики: Логицизм

В конце XIX века встал вопрос обоснования математики, вопрос прояснения того, что же из себя она представляет и на чем основывается ее достоверность и уникальность как науки. Почему встал такой вопрос ?

В III веке до н.э. были написаны знаменитые «Начала» александрийским математиком Евклидом. В ней Евклид затрагивает несколько разделов математики: планиметрию, стереометрию и теорию чисел. Также детально представлена теория пропорций, в силу того, что после открытия пифагорейцами несоизмеримости развитие греческой математики пошло главным образом по пути ее геометризации. Начинаются «Начала» с 23-х определений, 5-ти постулатов и 9-ти аксиом. В дальнейшем перед каждой книгой Евклид добавляет по несколько необходимых ему в данной книге определений. Это первая в истории человечества аксиоматическая система, где на основании определений, постулатов и общих аксиом с использованием дедукции выводятся различные предложения (теоремы). Выведенные предложения(теоремы) в дальнейшем также используются для вывода других предложений (теорем). Например, в конце первой книги доказывается теорема Пифагора — Предложение 47 (при ее доказательстве используются: определение 10, предложение 14, аксиома 1, аксиома 2, определение 22, предложение 4, предложение 41, аксиома 5). Не используются те понятия, которые не были определены ранее тем или иным образом. Благодаря такой строгости, логичности и системности «Начала» Евклида стало образцом для организации знания в других областях человеческой деятельности для многих мыслителей, философов и ученых последующего времени.

Очарованный Евклидом великий Бенедикт Спиноза даже метафизику пытался представить как аксиоматическую систему — как набор определений, аксиом и теорем по образцу «Начал». Практически все мыслители, философы и математики рассматривали геометрию Евклида онтологически т.е. как геометрию отражающую свойства и структуру окружающего мира.

Например, когда Кант писал «Критику чистого разума», то считал геометрическое знание априорно-синтетическим. По Канту пространство — одна из априорных форм созерцания разума (другая форма- время, на ней по Канту строится арифметика), на ней априорно строится геометрия. Геометрия Евклида, по Канту, несет в себе знание об окружающем мире. И так до него, как мы уже сказали, считало большинство мыслителей и математиков. Итак, резюмируем: геометрия Евклида до середины XIX века — это геометрия, которая несет истинное знание о действительном реальном пространстве.

Но этот взгляд на геометрию Евклида изменился в XIX веке.

В первой половине XIX века Лобачевским и Больяи были открыты неевклидовы геометрии. В 1823 году Янош Больяи писал:»Из ничего я создал странную новую вселенную». Как и все новое, геометрии без 5-го постулата о параллельных были поняты и приняты не сразу. Хорошо известно, что и Гаусс подошел к этой же проблематике, но испугавшись «крика беотийцев» не публиковал свои исследования в этой области. Но после того, как эти геометрии были осознаны, отрефлексированы , была доказана их непротиворечивость и найдена для них интерпретация встал вопрос — а какая из геометрий — Евклидова или одна из неевклидовых ближе всего отражают реальную действительность? Известно, что Гаусс будучи связан с геодезическими исследованиями даже пытался измерять практически углы огромного треугольника на местности. Он считал, что истины геометрии требуют экспериментальной проверки как истины механики.

В письме к Г.В.Ольберсу он писал:»Я все более убеждаюсь в том, что физическая необходимость нашей евклидовой геометрии не может быть доказана, по крайней мере человеческим разумом и для человеческого разума. Может быть , на том свете мы сможем постичь структуру пространства, пока непостижимую. А до тех пор геометрию надлежит помещать в один класс не с арифметикой, носящей чисто априорный характер, а с механикой, истины которой требуют экспериментальной проверки.»[Цит. по Клайн 2007, С.149] Стало ясно, что речь в геометрии идет о моделях, которые так или иначе представляют действительность, а не об онтологическом аспекте. Деонтологизация геометрии для многих ученых и мыслителей была неприемлема. Известно, что очень часто новые идеи с большим трудом пробивают себе дорогу, и как говорил известный физик Макс Планк, новые концепции побеждают не потому, что их принимают, а потому что противники этих идей умирают, а новое поколение вырастает уже изначально усвоив эти новые теории.

Еще Платон говорил, что «Творец геометризует». В результате открытия неевклидовых геометрий и легализации их в корпусе математических знаний геометрия потеряла статус науки, имеющей «априорную очевидность» и говорящей о реальном мире. Но оставалась еще арифметика и все разделы математики, основанные на числе. Здесь многие математики были согласны с Гауссом в этом вопросе — например, К.Г.Якоби говорил, что «Бог всегда арифметизует», подчеркивая этим более высокий статус разделов математики, основанных на числе, в противовес известному выражению Платона о «геометризующем Творце».

Но вскоре и разделы математики, основанные на числе, тоже были лишены своего статуса онтологической достоверности.

…(добавить о Гельмгольце,… и т.д.)

Одной из первых программ по преодолению кризиса в математике стала программа логицизма, утверждающая, что в основании математики лежит логика. Эта идея восходит еще к Лейбницу, который считал , что идеи и принципы логики лежат в основании всех наук , а математику рассматривал как частный случай применения логики.

П. Бенацерраф пишет, что есть несколько различных версий логицизма, но по большей части все они имеют следующие общие положения:

«1. Истины арифметики переводимы в истины логики; 2. (1) демонстрируется тем, что (а) устанавливаются определения для «внелогического» словаря (понятий) арифметики в «сугубо логических» терминах и (b) отмечается, что переводы, санкционированные этими определениями, перевели арифметические истины в логические истины, а арифметически ложные утверждения — в логически ложные; 3. Относительно этой арифметической демонстрации затем утверждается, что обоснована аналитичность математических пропозиций, потому что (а) поскольку определения по предположению сохраняют значение, логические переводы имеют то же самое значение, что и арифметические оригиналы и (b) сами логические истины мыслятся истинными в силу значения, в данном случае — значений встречающихся в них логических частиц (и, таким образом, аналитическими)»[цит. по Б.Рассел 2007,С.5].

Такой взгляд на математику можно объяснить тем, что логические методы в математике (в отличии от других наук) играют исключительную роль. Вывод любой теоремы в математике как аксиоматической системе можно понимать как логическое следование и получение логического вывода с использованием дедукции из определенных посылок и применением логических законов. Не случайно во все века математика была образцом логической строгости, доказательности и достоверности. Т.е. логицизм смотрит на математику и логику не как на две разные дисциплины, а как на две разные ступени одной и той же науки. Как говорил Бертран Рассел, «Они отличаются так же, как мальчик и мужчина: логика есть юность математики, а математика есть зрелость логики»[Б.Рассел 2007,С.212]. Рассел акцентирует свое внимание на том, что нет такой точки, через которую можно провести линию и сказать, что слева логика , а справа математика.

Первым систематически проводить в жизнь идею сведения математики к логике начал великий немецкий математик, логик и философ Готтлоб Фреге. До него британские математики О. де Морган и Дж. Булль проложили дорогу к математизированной логике, Фреге же «предложил логизированную математику» [Фреге 2021,С.13]. Самое главное, что нужно было сделать для практической реализации задуманной программы — это свести все внелогические понятия и объекты математики к логическим. Было известно, что Пеано вывел свойства вещественных чисел из аксиом для целых чисел. Поэтому приведя к логическим понятиям все, что связано с арифметикой, можно было надеяться на положительный результат в разработке логистической программы. Наиболее проблемным местом для Фреге стало выведение понятия «Число» исключительно из логических понятий. Этому Фреге посвящает вторую свою наиболее значимую работу «Основоположения арифметики. Логико-математическое исследование о понятии числа» (Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logish mathematische Untersuchung uber den Begriff der Zahl«, 1884г.) В первой половине этой работы Фреге критикует все определения понятия «Число», которые были до него. Особенно он направляет копье своей критики на понимание числа Миллем. Милль , как известно, считал что число есть просто наша абстракция , происходящая из наблюдения предметов окружающего мира.

Фреге с этим категорически не согласен. Он не принимает субъективного понятия числа, а считает , что оно объективно в следующем смысле:»Я отличаю объективное от осязаемого, пространственного, действительного. Земная ось, центр массы Солнечной системы являются объективными, но я не могу назвать их действительными, как саму Землю. Экватор часто называют мысленной линией, но было бы ложным назвать его выдуманной линией; он не является результатом душевного процесса, возникшим посредством мысли, но лишь познается, схватывается посредством мысли. Если бы становление познанным означало возникновение, то мы не могли бы высказать о нем ничего позитивного при ссылке на время, которое предшествует этому якобы возникновению.»[Фреге 2021,С.80] И также критику психологизма Фреге считает очень важной:»Мы видим, к каким диковинам приводит развертывание мысли, что число является представлением. И мы приходим к выводу, что число не является ни пространственным и физическим, как груда булыжников и орехов у Милля , ни также субъективным,как представления, но является нечувственным и объективным. Ведь основание объективного не может лежать в чувственном впечатлении, которое в качестве аффектации нашей души является совершенно субъективным, но, насколько я вижу, лежит в разуме. Было бы удивительно, если бы самая точная наука вынуждена была бы опираться на еще неточную, продвигающуюся ощупью психологию.»[Фреге 2021,С.84] По сути здесь Фреге стоит на позициях платонизма (также как Рассел и Пеано, которые верили, что математические истины открываются, а не изобретаются-«конструируются» учеными). Число Фреге определяет через объем равномощных (равночисленных) понятий.

Понятие «Равночисленность» он определяет через взаимно-однозначное соответствие.

Он вполне понимает, что само определение числа в данном случае «непредикативно»(как сказали бы немного позже, после открытия парадоксов в теории множеств), число определяется «через само себя», но считает в данном случае это нормальным «Я повторю: Число, соответствующее понятию F, есть объем понятия «равночисленно понятию F«…Понятие числа, таким образом, объяснено: но, по-видимому, само через себя, однако все-таки без изъяна, поскольку уже объяснено «число, соответствующее понятию F«»[Фреге 2021,С.147]

Понятие 0 («ноль») Фреге определяет через существование, а именно:»…предложение, что не существует прямоугольного, прямолинейного, равностороннего треугольника, высказывает свойство понятия «прямоугольный, прямолинейный, равносторонний треугольник»; последнему прилагается число 0. В этом отношении существование имеет сходство с числом. Ведь утверждение существования есть ничто иное, как отрицание числа 0 «[Фреге 2021,С.147]

Натуральный ряд в соответствии с этими определениями Фреге может быть определен следующим образом.

Число 0 определяется как число понятия F «быть не равным самому себе».

Число 1 это число понятия F «быть равным 0».

Число 2 это число понятия F «быть равным 0 или 1».

Число 3 это число понятия F «быть равным 0 или 1 или 2».

Число N это число понятия F «быть равным 0 или 1 или 2…или N«.

В 1893-1902 гг. Фреге излагает свои взгляды на логику и математику в капитальном труде «Основные законы арифметики» («Grundgesetz der Arithmetik«) как бы подводя итог своим исследованиям этого непростого вопроса. Но когда написание второго тома подошло к концу, он получает письмо от Рассела, где Рассел описывает открытый им парадокс названный впоследствии «парадокс Рассела» (парадокс множества всех множеств , которые не содержат себя в качестве элемента) — это понятие Фреге как раз использовал в своем труде. Для Фреге это был удар — вот как он сам говорит об этом: «Вряд ли с ученым может приключиться что-нибудь худшее, чем если у него из-под ног выбьют почву в тот самый момент, когда он завершит свой труд. Именно в таком положении оказался я, получив письмо от Бертрана Рассела, когда моя работа уже была почти закончена.»[Цит. по М.Клайн 2007, С.376]

После этого Фреге отказался от идеи перевода понятий математики на «логический язык», но Рассела не смутила эта неудача. В 1910-1913гг. вышел фундаментальный труд Рассела и Уайтхеда «Principia Mathematica«. Чтобы избежать парадоксов, Рассел и Уайтхед разработали теорию разветвленных типов. Суть этой теории в том, что при определении множества никакой элемент этого множества не должен определяться в терминах самого этого множества. Тип множества должен быть больше, чем тип элементов самого множества. Не должно быть «самореференции» или так называемых «непредикативных» определений. По мнению Рассела , в этом главная проблема парадоксов — в самореференции. Было открыто много различных парадоксов, но по мнению Рассела, суть проблемы была у всех одна и по сути все они по форме были подобны парадоксу Лжеца, который был известен еще со времен Античности из Мегарской школы.

Но проект логицизма не удался. Рассел гораздо позже в 1959 году писал:»Восхитительная определенность, которую я всегда надеялся найти в математике, затерялась в путанице понятий и выводов… Это оказался поистине запутанный лабиринт, выхода из которого не было видно.» [Цит. по М.Клайн 2007, С.397] Сложность здесь, на наш взгляд, вполне обьективная — математика не сводима к логике. Всегда остается некий остаток, который принадлежит другим наукам и к логике не сводим — а именно к философии понимаемой в самом широком смысле (включающей в себя интеллектуальные, интуитивно-иррациональные творческие откровения, прозрения, догадки и др.) и к самой математике. Как хорошо определил Д.А. Бочвар :»Математика не выводима из формальной логики, ибо для построения математики необходимы аксиомы,устанавливающие определенные факты области объектов и прежде всего — существование в последней определенных объектов . Но такие аксиомы обладают уже внелогической природой»[Бочвар 1944,С.382]

Расселу и Уайтхеду пришлось ввести несколько аксиом, которые не имеют отношения к логике: аксиому бесконечности, аксиому сводимости(редукции) и аксиому выбора. Эти аксиомы стали мишенью для критики со стороны противников логицизма.

Для чего нужно было вводить аксиому сводимости ? На основе натуральных чисел строятся целые, на основании целых строятся рациональные, на основании рациональных — иррациональные. Если мы формулируем какую-либо теорему для натуральных чисел, то в иерархической системе типов Рассела-Уайтхеда мы не можем автоматически перенести эту же теорему на все остальные числа, так как каждый вид чисел — это другой тип объектов и получается, чтобы соблюсти логическую строгость, на каждом уровне иерархии мы должны заново переформулировать данную теорему для другого типа чисел. Это, конечно, сделало бы теоретические выкладки очень громоздкими. Вот для того, чтобы можно было со сходными объектами разных типов работать одним и тем же образом и была введена аксиома сводимости (редукции).

Сам Рассел писал о ней:»С чисто логической точки зрения я не вижу оснований считать аксиому сводимости необходимой, т.е. тем , о чем принято говорить, что оно истинно во всех возможных мирах. Следовательно, включение этой аксиомы в логику является дефектом, даже если аксиома эмпирически правильна.» [Б.Рассел 2007,С.210]

Рассел позже вспоминал, что в процессе работы над «Principia Mathematica» он жаждал определенности, точности как другие жаждут религиозной веры — но у него из головы никогда не выходила басня о слоне и черепахе.Чтобы здание математики стояло надежно и нерушимо, его нужно было «поставить на слона». Но когда большая часть работы была сделана, то он понял, что все здание шатко и зыбко и одного «слона» мало. Для устойчивости под слона пришлось поместить еще и «черепаху». В результате двадцатилетних усилий Рассел понял, что ничего уже не может сделать для придания математическому знанию достоверного и неоспоримого характера.

Очень показательны здесь слова оценки логицистской программы Германом Вейлем, который придерживался интуиционистских позиций. Он считал, что Уайтхед и Рассел возвели здание математики на основе :»… не просто логики, а своего рода рая для логиков, мира, снабженного всем необходимым «инвентарем» весьма сложной структуры… Кто из здравомыслящих людей осмелится утверждать, что верит в этот трансцендентальный мир? … Эта сложная структура требует от нас не меньшей веры, чем учения отцов церкви или средневековых философов-схоластов.»ейль 1989, С.84]

По мнению некоторых современных исследователей, несмотря на те трудности, с которыми столкнулись Фреге и Рассел, «программа логицистов никаких принципиальных фатальных ограничений не содержит, и принципиально осуществима»[Светлов 2006,С.79] Мы считаем, что как уже указывалось выше, логистическая программа имеет односторонний характер , делая акцент на логике, и упуская из вида, что математика имеет очень сложное образование, в котором логика участвует только как одна из составных частей.(м)

БИБЛИОГРАФИЯ.

  1. М.Клайн Математика утрата определенности. Москва 2007г.

  2. Б.Рассел Введение в математическую философию. Новосибирск 2007г.

  3. Г.Фреге Основоположения арифметики. М.Ленанд ,2021г.

  4. Светлов В.А. Философия математики. М.КомКнига, 2006г.

  5. Вейль.Г. Математическое мышление. М.Наука 1989г.

  6. Кондаков Н.И. Логический словарь-справочник. М.,Наука 1975г.

  7. Жуков Н.И. Философские основания математики. Минск, 1990г.

  8. Рузавин Г.И. Математизация научного знания. М.,1984г.

  9. Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л.1948г.

  10. Бочвар Д.А. К вопросу о парадоксах математической логики и теории множеств.- «Матем.сб.»,т.15,вып.3.М.,1944