Еще в 1900 году на II международном математическом конгрессе в Париже Давид Гильберт вместе со своей программой самых важных проблем , существующих в математике, подчеркнул важность доказательства ее непротиворечивости. Для Гильберта понятие «истинности» было эквивалентно понятию непротиворечивости, он считал , что математический объект существует , если он может быть определен непротиворечиво.

Но Гильберт пошел по другому пути, по сравнению с логицизмом и интуиционизмом. Идеи Лейбница лежали в основании логицизма. Но идеи другого великого немецкого философа Иммануила Канта оказались в основании сразу двух направлений в обосновании математики — интуиционизма и формализма. Кант считал, что математика есть результат деятельности априорных форм чувственного созерцания — пространства и времени. Геометрия основана на априорном чувстве созерцания пространства, а арифметика — на априорном чувстве созерцания времени. Хотя теоремы и выводятся из аксиом по законам логики, но сами теоремы и аксиомы продуктом логики не являются, а есть содержание отдельной науки- математики. С помощью форм чувственного созерцания мы можем определять расположение объектов в пространстве, их взаиморасположенность, временное следование, течение времени.

Давид Гильберт в принципе был согласен с Кантом по этому вопросу,

что математика не может выводиться из логики, как думали логицисты. До того, как мы начинаем использовать логические процедуры, в нашем разуме уже должно присутствовать определенное внелогическое содержимое, что и является в дальнейшем объектом приложения логики. Вот как он пишет об этом в статье «Обоснования математики»: «Математика, как и любая другая наука, не может быть основана только на логике; наоборот, в качестве предварительного условия для применения логических умозаключений и приведения в действие логических операций нам в нашем представлении уже должно быть дано нечто, а именно — определенные внелогические конкретные объекты, которые существуют наглядно, в качестве непосредственных переживаний до какого бы то ни было мышления. Для того, чтобы логические выводы были надежны, эти объекты должны быть полностью во всех своих частях обозримыми; их показ, их различие, их следование друг за другом и существование одного из них наряду с другими даются непосредственно, наглядно, вместе с объектами как нечто, не могущее быть сведенным ни к чему другому и не нуждающееся в таком сведении.»[Гильберт 1948, С.366]

Математика по Гильберту является автономной научной дисциплиной. Аксиоматика математики должна включать аксиомы как логики так и математики. Гильберт считал, что математику лучше считать формальной, абстрактной дисциплиной, которая занимается формальным преобразованием символов и формул безотносительно к их значению, а не «фактическим знанием» (но семантику символов и связь с реальностью тоже берем в расчет). По определенным правилам логического вывода производятся преобразования символов и таким образом производится доказательство теорем. Гильберт под объективным доказательством понимал следующую процедуру, состоящую из трех этапов.

1) Предъявление некоторой первоначальной формулы, от которой мы будем исходить

2) Затем следует утверждение, что из первоначальной формулы выводится другая целевая формула, которую хотим доказать

3) Выведение и предъявление второй целевой формулы, которую хотели доказать

«Последовательность из этих трех этапов, в которой вторая предъявляемая формула является следствием из принятых ранее аксиом или ранее выведенных заключений, и является доказательством теоремы» [Клайн 2007, С.429]

Все утверждения логики и математики должны быть записаны в символической форме — тогда наконец-то сбудется мечта об изгнании метафизики из математики, мы избежим неоднозначности обычного языка, будет меньше вероятность использования интуитивных представлений и более вероятно достичь объективности и строгости в доказательствах.

В 1899 году вышла в свет «Основания геометрии». Гильберт использовал разработки Паша в «Лекции по новой геометрии» (1882), который считал, что «основные положения геометрии должны быть заимствованы из опыта, но дальнейшее развитие геометрической системы должно протекать путем чисто логических умозаключений»[Гильберт 1948,С.19] Используя идеи Паша , Гильберт построил геометрию на новой системе аксиом, стараясь избегать наглядной очевидности , основанной на почерпнутых из опыта свойствах геометрических образов. Он построил систему аксиом таким образом, чтобы вывод одних предложений из других выполнялся только на основании правил формальной логики. Широко известно его высказывание, что нужно строить систему аксиом так, что понятия «точки», «прямой», «плоскости» мы могли бы заменить на «пивные кружки», «столы» и «стулья» — и при этом ничего не должно измениться. Мы жертвуем интуитивной наглядностью (которой не всегда можно доверять) ради формальной аксиоматической строгости.

В 1934 году вышел первый том Оснований математики — «Логические исчисления и формализация арифметики», в 1939 году второй том — «Теория доказательств».

Основные моменты программы формализма (другие названия метаматематика, теория доказательств) состоят в следующем. [Светлов 2006, С.131-132]

Главным критерием для обоснования всей математики может быть критерий непротиворечивости. Ни классическая традиция, ни логицизм, ни интуиционизм не смогли обосновать математику. Поэтому пока это не будет сделано, споры в этой области не прекратятся.

Метод, которым будет проведено обоснование математики должен быть формально аксиоматическим, поскольку если аксиоматика содержательна, то она апеллирует к опытной очевидности аксиом или к интуиции. Без какой-то формы очевидности формальная аксиоматика не может тоже обойтись, но это должна быть очевидность основанная на всей математике, а не какой-то ее отдельной области.

Непротиворечивость математики не может быть установлена с использованием интерпретации ее основных объектов с помощью чисел , числовых систем, равенств, неравенств и т.д. — т.е. что можно использовать для обоснования непротиворечивости отдельной области математики, нельзя использовать для доказательства непротиворечивости всей математики, иначе сразу встанет вопрос о непротиворечивости самих этих математических средств, которые мы использовали для доказательства.

Дедуцировать из аксиом логики и данных интуиции непротиворечивость математики не получится. Все попытки логицистов провалились. А основывать непротиворечивость математики на априорной интуиции времени кажется очень субъективным занятием.

Общий процесс доказательства непротиворечивости математики состоит из двух этапов. Формализация базиса математики — задача первого этапа. Здесь формализуются арифметика и анализ, теория множеств путем построения формальной системы , из необходимых аксиом которой с помощью четких правил по перечисленным разделам выводятся все нужные теоремы. В рассмотрение в созданной формализованной системе должны приниматься только порядок символов и вид (такой степени должна быть формализация системы.)

На втором этапе нужно доказать, что противоречия типа 1 равно 0, 0 не равно 0, или 1 не равно 1 не возможны в построенной таким образом формальной системе. Также к бесконечным совокупностям объектов недопустимо применять закон исключенного третьего, нельзя использовать непредикативные определения.

Таким образом формализованная классическая математика не должна содержать интуиционистских ограничений.

Но программе формализма не суждено было воплотиться в жизнь и поставить всю математику на твердую основу. В 1931 году 25 летний Курт Гедель доказал теорему о принципиальной неполноте формальных систем типа арифметической. Это был серьезный удар по всему плану Давида Гильберта. Как пишет Герман Вейль, «…вполне возможно, что все математики в конце концов восприняли бы подход Гильберта, если бы Гильберту удалось успешно осуществить свой замысел. Первые шаги были вдохновляющими и многообещающими. Но затем Гедель нанес этому подходу смертельный удар (1931), от которого тот так и не оправился.»[Вейль 1989,С.91]

Курту Геделю, который использовал основную теорему арифметики о единственности разложения любого натурального числа большего единицы на простые множители, удалось определенным образом перенумеровать символы, последовательности формул и сами формулы в формальной системе и преобразовать таким образом высказывание о непротиворечивости в арифметическое предложение, которое , как показал Гедель, не может быть ни доказано ни опровергнуто внутри самой формальной системы используя средства самой системы. Из этого, по словам Вейля, может вытекать два возможных вывода:»… либо умозаключения, с помощью которых проводится доказательство непротиворечивости, должны содержать какой-то довод , не имеющий формального аналога внутри системы, т.е. нам не удалось полностью формализовать процедуру математической индукции; либо надежду на строгое «финитистское» доказательство непротиворечивости необходимо оставить навсегда. » [Вейль 1989,С.91]

В 1936 году Герхард Генцен доказал непротиворечивость арифметики, но для этого ему, как и следует из теоремы Геделя и как резюмировал Вейль, пришлось «использовать довод, не имеющий формального аналога внутри системы» и выйти за пределы арифметики, добавив к логике первого порядка бескванторную трансфинитную индукцию.

Вейль делает вывод, что в настоящее время, т.к. программа Гильберта не удалась, мы меньше чем когда-либо можем быть уверены в незыблемости оснований математики. И хотя , как и прежде на протяжении примерно 2500 лет, математика живет и развивается, но в настоящее время в ней наблюдается кризис, который продолжается уже примерно на протяжении более чем 50 лет.(м)

 

БИБЛИОГРАФИЯ.

1. М.Клайн Математика утрата определенности. Москва 2007г.

2. Б.Рассел Введение в математическую философию. Новосибирск 2007г.

3. Г.Фреге Основоположения арифметики. М.Ленанд ,2021г.

4. Светлов В.А. Философия математики. М.КомКнига, 2006г.

5. Вейль.Г. Математическое мышление. М.Наука 1989г.

6. Кондаков Н.И. Логический словарь-справочник. М.,Наука 1975г.

7. Жуков Н.И. Философские основания математики. Минск, 1990г.

8. Рузавин Г.И. Математизация научного знания. М.,1984г.

9. Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л.1948г.

10. Бочвар Д.А. К вопросу о парадоксах математической логики и теории множеств.- «Матем.сб.»,т.15,вып.3.М.,1944