В 1900 году на II-м международном математическом конгрессе в Париже немецкий математик Давид Гильберт (1862-1943) в своем докладе обозначил наиболее важные текущие математические проблемы — по мнению Гильберта их было 23. Вторая из них — это проблема доказательства непротиворечивости и полноты арифметики. Гильберт, один из самых известнейших математиков первой половины XX века, верил в силу человеческого разума — что любую математическую проблему можно решить. Его девизом было «Мы должны знать — мы будем знать» (Wir müssen wissen. Wir werden wissen — эти слова высечены на его могильном камне в Геттингене). Гильберт был автором формалистской программы обоснования математики. Математика по Гильберту является автономной научной дисциплиной. Аксиоматика математики должна включать аксиомы как логики так и математики. Гильберт считал, что математику лучше считать формальной, абстрактной дисциплиной, которая занимается формальным преобразованием символов и формул безотносительно к их значению, а не «фактическим знанием» (но семантику символов и связь с реальностью тоже не упускаем из вида). По определенным правилам логического вывода происходят преобразования символов и таким образом производится доказательство теорем. Гильберт под объективным доказательством понимал следующую процедуру, состоящую из трех этапов.

1) Предъявление некоторой первоначальной формулы, от которой мы будем исходить

2) Затем следует утверждение, что из первоначальной формулы выводится другая целевая формула, которую хотим доказать

3) Выведение и предъявление второй целевой формулы, которую хотели доказать

Доказательством теоремы является последовательность этих трех этапов, где следствием из принятых ранее аксиом или ранее выведенных заключений является вторая предъявляемая формула.

Все утверждения логики и математики должны быть записаны в символической форме — тогда наконец-то сбудется мечта об изгнании метафизики из математики, мы избежим неоднозначности обычного языка, будет меньше вероятность использования интуитивных представлений и более вероятно достичь объективности и строгости в доказательствах.

Но программе Гильберта по формализации всей математики не суждено было сбыться.

В 1930 году венгерский математик Курт Гёдель доказал две теоремы, касающиеся достаточно развитых формальных систем, способных выразить арифметику. Первая — «теорема о неполноте» — говорит о том, что в любой формальной системе арифметики с любым набором аксиом будут существовать такие истинные выражения (теоремы), которые не могут быть доказаны или опровергнуты в рамках данных аксиом формальной системы. И принципиально то, что добавление дополнительных аксиом не решит проблему — все равно будут существовать теоремы, доказать или опровергнуть которые в рамках данной системы будет невозможно. Это принципиальное фундаментальное ограничение. Вторая — «теорема о непротиворечивости» — говорит о том, что в рамках самой формальной системы арифметики финитными средствами нельзя доказать ее непротиворечивость, если она непротиворечива — т.е. для этого нужно переходить к формальной системе более высокого уровня, содержащую другой аналитический инструментарий. В 1936 г. Г. Генцен получил доказательство непротиворечивости формальной арифметики, используя средство, отсутствующее в арифметике, — так называемую трансфинитную (бесконечную) индукцию.

Очень образно выразился об этом Куайн — он сказал, что «формальные системы попытались проглотить больший кусок онтологии, чем они в состоянии переварить«.

Гедель, используя основную теорему арифметики об единственности разложения любого числа на простые множители, придумал как можно пронумеровать все составляющие формальной системы. Он показал, как каждому символу, каждой последовательности символов, каждой формуле можно поставить в соответствие натуральное число («геделевская нумерация») — таким образом он «отобразил» формальную систему в область арифметики и соответственно «перевел разговор» о выводимости-доказательстве в формальной системе на обсуждение свойств натуральных чисел. Ему удалось построить формулу , которая заявляет о себе:«Я не выводима (не доказуема) в этой системе». Но формула создана внутри самой системы ее средствами, поэтому по сути получается логический парадокс, подобный парадоксу лжеца, где Гедель заменил слово «ложно» словом «не доказуемо». Иногда иронично говорят, что теорема Геделя — это тонкий способ ввести парадокс лжеца «Я лгу» в область строгой логики.

Теоремы Геделя по сути опровергали идущее еще от Декарта и Лейбница убеждение, что любое истинное утверждение возможно обосновать с помощью методов математического доказательства — стало понятно, что не все истинные высказывания можгут быть доказаны, или как могли бы сказать математики «мощность истинных высказываний больше множества доказуемых высказываний».

Выводы из теорем Геделя показывают, насколько велико расстояние от доказуемости (выводимости) до истинности и следовательно появляется повод задуматься о значении, роли и способности логики к познанию окружающего нас мира. Некоторые философы на основании этого делают вывод, что роль логики сводится к упорядочению и систематизации имеющегося знания, а сам механизм открытия новых истин и расширения нашего знания имеет другую природу.

Но, конечно, не стоит трактовать эти теоремы как полное фиаско формального подхода по отношению к математическим теориям, хотя результат, несомненно ,оказывает отрезвляющее действие. Чуть выше было сказано об ограниченности логики, но с другой стороны математическая логика единственная из всех наук установила границы своей применимости своими собственными строгими методами.

Немного позже в 1936 году Альфред Тарский доказал теорему о невыразимости арифметической истины — т.е. средствами самой арифметики понятие арифметической истины выразить нельзя. Эта теорема, несомненно, связана с результатами Геделя и перекликается с ними. Сам Тарский говорил, что использовал теоремы и методы Геделя при доказательстве своей теоремы.

Как говорил австрийский поэт Райнер Мария Рильке, есть вопросы по своей важности и глубине, на которые мало просто ответить. Такие вопросы нужно «пропустить через себя», ими нужно жить, «вариться в них». Такие вопросы нужно постоянно держать перед своими глазами при размышлении о мире и бытии. Мы полагаем, что по своей важности и своему значению результаты, полученные Геделем, можно отнести как раз к разряду таких «бытийных» вопросов, которые оказывают влияние на многие области человеческого познания и значение которых еще будет осознаваться и открываться человечеством в дальнейшем.(м)